超限帰納法について、ここに記述してください。
1. 超限帰納法
- (A , ≤) を整列集合とし、P(x) を A の元 x に関する命題とする。 A は整列集合であるから "≤" について最小元を持つ。これを 、a0 とする。
もし次の2つの条件が成立するならば、任意の x ∈ A について P (x) が成り立つ。
条件1
- P(a0) は真である。
条件2
a を A の任意の元とする。 x < a を満たす A の全ての元 x について P(x) が真ならば、P(a) も真である。
ただし、"<" は a < b ⇔ ( a ≤ b ∧ a ≠ b) で定義される二項関係とする。
(実際には、条件1は条件2に吸収することができる。
なぜなら、条件2において a = a0 と置けば、x < a を満たす A の元は存在しないので、 「x < a を満たす A の全ての元 x について P (x ) が真」という命題は無条件に真であり、
従って、P (a0 ) が真となることが要求されるからである。
ここでは分かりやすいように自然数についての数学的帰納法と整合を取った[3]。）
2. 証明
超限帰納法の言明が偽と仮定する。
- これは条件1、条件2が満たされても P (a ) が偽となる a ∈ A の元が存在することを意味する。
そのような元の全ての集合を Aa とする。
- A は整列集合であるからその部分集合である Aa も最小元を持つ。これを b とする。
条件1から b は A の最小元ではあり得ない。
従って、Ab = {x | x ∈ A ∧ x < b } と置けば、Ab は空ではない (少なくとも a0 を含む)。
b の作り方から明らかなように、x ∈ Ab であれば、P(x) は真である。
- 従って、条件2により P(b) は真となるが、 b ∈ Aaから P(b) は偽であり、矛盾である。
従って超限帰納法の言明は真である。
3. 数学辞典 増訂版
任意の順序数に対してなりたつことを示すには、次のことを示せばよい。
- αより前の順序数でその条件の成り立たないものがなければ、その条件はαについて成り立つ。
第三版では別の説明になっているらしい。
4. Transfinite Induction
http://mathworld.wolfram.com/TransfiniteInduction.html
http://mathworld.wolfram.com/PrincipleofMathematicalInduction.html